Ecuaciones diferenciales parciales no lineales y análisis no lineal

Muchos problemas de la física, la ingeniería, la biología, la medicina, las finanzas, y de las matemáticas mismas, se modelan mediante ecuaciones diferenciales no lineales. Una clase particular muy importante son las ecuaciones de Euler-Lagrange, cuyas soluciones satisfacen un criterio de optimalidad, dado en general por una integral que representa alguna energía, una acción, una función de costo, etc. Dicho en términos matemáticos, las soluciones son puntos críticos de un funcional definido en un espacio de funciones. A este tipo de ecuaciones se les llama problemas variacionales.

Para que un modelo tenga sentido, lo primero es investigar si tiene o no solución. Éste no es un problema sencillo. Ecuaciones que a primera vista parecen semejantes pueden tener comportamientos muy distintos, y pequeñas modificaciones en el término no lineal o en el dominio pueden dar lugar a que el problema variacional no tenga ninguna solución, o bien a que tenga una infinidad de ellas. Además de mostrar la existencia de soluciones, interesa obtener información sobre el número de ellas y, en la medida de lo posible, una descripción cualitativa de éstas.

Los métodos utilizados para abordar problemas variacionales no lineales provienen de diversas áreas de las matemáticas: análisis funcional, topología algebraica, sistemas dinámicos, geometría, etc. El conjunto de estos métodos conforma un área de la matemática llamada análisis no lineal.