Geometría diferencial
En sus inicios, la geometría diferencial fue impulsada, entre otros, por matemáticos como Euler, Gauss, Riemann. Para trabajar en el espacio Euclidiano, las herramientas para introducirse al tema son geometría euclidiana, álgebra lineal y cálculo.
La geometría diferencial estudia conceptos como la curvatura Gaussiana y curvatura media. Como aplicación, la córnea de un ojo humano se modela como una superficie de revolución y la miopía se mide en términos de la curvatura de la superficie. Otro concepto importante son las geodésicas: curvas dentro de una superficie y de longitud más corta entre dos puntos. Por ejemplo las geodésicas de una esfera son los arcos de círculo máximo que contiene. Las superficies mínimas generalizan a las geodésicas y localmente minimizan el área. Tienen curvatura media constante cero. Como ejemplos tenemos el helicoide, el catenoide y las superficies que se forman cuando sumergimos un alambre cerrado en una solución jabonosa.
La geometría diferencial es una herramienta principal de la relatividad general, lo cual le dio un impulso. El espacio tiempo es una variedad de dimensión cuatro, la gravedad es un efecto de la curvatura y los rayos de luz describen trayectorias que son geodésicas. La Ecuación de campo de Einstein involucra la curvatura de Ricci, la curvatura escalar, que generalizan la curvatura Gaussiana, y la métrica. David Hilbert lo invitó a su seminario y a las pocas semanas dedujo la ecuación, de manera independiente y simultánea a Einstein, usando técnicas de Cálculo de Variaciones. La geometría riemanniana es parte de la geometría diferencial. El espacio donde se trabaja es una variedad diferencial, la cual es una generalización del espacio euclidiano. Es la herramienta que uso Einstein con ayuda de su amigo y colaborador el matemático Marcel Grossman.
La geometría diferencial esta íntimamente relacionada con sus aplicaciones como son la física, la geodesia, las ecuaciones diferenciales, la topología de variedades, el álgebra. Una de la áreas más modernas se conoce como análisis geométrico, en la cual se estudian ecuaciones diferenciales en variedades.